兼雑記

Fourier 級数について

Misc

http://www.bsddiary.net/d/200408.html#31 経由の http://www2s.biglobe.ne.jp/~uyouyo/diary/diary2004/diary04083.html から…

$\pi=4(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}...)$ - (1)

あううもうダメ。もえもえ。ここは数学日記かよと思いつつ証明。さて Fourier 級数から。

任意の $-\pi\leq{}x\leq{}\pi$ での周期関数 f(x) は、とある級数 $a_n$ , $b_n$ を用いて、

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})$ - (2)

と展開することができます。いろんな周波数の正弦波と余弦波の和で表せるわけです。ちょっとぐぐったらうまく視覚化しておられる方がいました (http://www12.plala.or.jp/ksp/math/fourier1/) 。うーんこの図は素晴しいです。だってまさに欲しい式がそこにあるんですもの。というわけでそのまま引用。

$f(x)=-1 (-\pi\leq{}x\leq{}0)$ - (3)
$f(x)=1 (0\leq{}x\leq{}\pi)$ - (4)

を Fourier級数展開すると、

$\frac{4}{\pi}(\sin{x}+\frac{1}{3}\sin{3x}+\frac{1}{5}\sin{5x}+...)$ - (5)

となります。さて $x=\frac{\pi}{2}$ を放り込んでやりましょう。上の式 (4) に入れると $f(\frac{\pi}{2})=1$ となります。下の式 (5) に入れると

$f(\frac{\pi}{2})=\frac{4}{\pi}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-...)$

$\pi$ を移行してやると一番最初のもえもえ方程式 (1) が証明されます。

つーか拾ってきた数式使っただけなので卑怯だよという話がやはりありまして、 Fourier 級数展開の過程も一応書いときます。三角関数は直交性なる特徴があります。こんなの。

$\int_{-\pi}^{\pi}\sin{nx}\sin{mx}dx=\delta_{nm}\pi$

$\delta_{nm}$ は $n=m$ の時に 1 となってそれ以外で 0 になる記号です。これはまあちょっと計算すりゃ証明できます。

というわけで (2) の両辺に $\cos{mx}$ なり $\sin{mx}$ をかけて $-\pi$ から $\pi$ まで積分して、両辺 $\pi$ で割ると、

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx$
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx$

となります。あとは (3) と (4) を用いてこの積分をやってやれば (5) が示せます。

ついでにもういっこ。

$f(x)=|x|$

を Fourier級数展開してやると、

$f(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}(\cos{x}+\frac{1}{3^2}\cos{3x}+\frac{1}{5^2}\cos{5x}+...)$

となるので、 $x=0$ を代入すると、

$\pi^2=8(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}...)$

となります。まーこっちのほうが最初のよりいくらか収束が速いので Super PI に挑むならこちらのほうがマシですけど、いずれにせよお話にならないはずです。

さて…今回の Fourier級数を任意周期に対応するためにスケール変換を適当にかませて、あーそれならびろーんと積分範囲を∞までもってやったらいいんじゃね、というのが Fourier変換です。

全く関係ありませんが、私がいままで一番感動した式はたぶん

$1=-1=i=-i$

です。

なにかあれば下記メールアドレスへ。

shinichiro.hamaji _at_ gmail.com